一文读懂平衡二叉树 | 技术头条
栏目:新闻 发布时间:2019-10-07 14:30

原标题:一文读懂平衡二叉树 | 技术头条

作者 | 宋广泽

责编 | 伍杏玲

出品 | CSDN(ID:CSDNnews)

平衡二叉树,又称AVL树,指的是左子树上的所有节点的值都比根节点的值小,而右子树上的所有节点的值都比根节点的值大,且左子树与右子树的高度差最大为1。因此,平衡二叉树满足所有二叉排序(搜索)树的性质。至于AVL,则是取自两个发明平衡二叉树的科学家的名字:G. M. Adelson-Velsky和E. M. Landis。

二叉搜索树

平衡二叉树是在二叉排序树的基础上发展而来的,那为什么要引入二叉搜索树呢?

所谓二叉搜索树(Binary Search Tree),又叫二叉排序树,简单而言就是左子树上所有节点的值均小于根节点的值,而右子树上所有结点的值均大于根节点的值,左小右大,并不是乱序,因此得名二叉排序树。

一个新事物不能凭空产生,那二叉搜索树又有什么用呢?

有了二叉搜索树,当你要查找一个值,就不需要遍历整个序列或者说遍历整棵树了,可以根据当前遍历到的结点的值来确定搜索方向,这就好比你要去日本,假设你没有见过世界地图,你不知道该往哪个方向走,只能满地球找一遍才能保证一定能够到达日本;而如果你见过世界地图,你知道日本在中国的东边,你就不会往西走、往南走、往北走。这种思维在搜索中被叫做“剪枝”,把不必要的分枝剪掉可以提高搜索效率。在二叉搜索树中查找值,每次都会把搜索范围缩小,与二分搜索的思维类似。

如下图所示的二叉搜索树:

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要想查找到8,则是先到达根节点,其值为5,8比5大因此继续往右子树上找,到达9,8比9小因此往左子树上找,最终找到8;

要想查找4,则是先到达根节点其值为5,4比5小因此往左子树上找,到达1,4比1大因此往右子树上找,到达3,4比3大因此往右子树上找,而值为3的节点的右子树是空的,因此该搜索二叉树中不存在值为4的节点。

有了二叉排序树就可以使插入、搜索效率大大提高了,为什么还要引入平衡二叉树?

二叉搜索树的结构与值的插入顺序有关,同一组数,若其元素的插入顺序不同,二叉搜索树的结构是千差万别的。举个例子,给出一组数[1,3,5,8,9,13]。

若按照[5,1,3,9,13,8]这样的顺序插入,其流程是这样的:

若按照[1,3,5,8,9,13]这样的顺序插入,其流程是这样的:

如果在上面的二叉搜索树中查找13,是要将所有节点都遍历一遍的,时间复杂度就变成了O(n),几乎就是一个链表。

细心的朋友可能已经发现,插入的序列越接近有序,生成的二叉搜索树就越像一个链表。

为了避免二叉搜索树变成“链表”,我们引入了平衡二叉树,即让树的结构看起来尽量“均匀”,左右子树的节点数尽量一样多。

生成平衡二叉树

那给定插入序列,如何生成一棵平衡二叉树呢?

先按照生成二叉搜索树的方法构造二叉树,直至二叉树变得不平衡,即出现这样的节点:左子树与右子树的高度差大于1。至于如何调整,要看插入的导致二叉树不平衡的节点的位置。主要有四种调整方式:LL(左旋)、RR(右旋)、LR(先左旋再右旋)、RL(先右旋再左旋)。

节点的声明如下:

structnode

{

//值

intval;

//左孩子

node *left;

//右孩子

node *right;

};

求树的高度的函数:

intdepth(node *root)

{

if(root== NULL)

{

return0;

}

intdep1=depth(root->left);

intdep2=depth(root->right);

return(dep1>dep2?dep1:dep2)+ 1;

}

代码解析:二叉树的高度取决于高度大的子树,为高度大的子树的高度+1。空树的高度为0。

所谓LL(左旋)就是向左旋转一次,下图所示为最简洁的左旋(插入3导致值为1的节点不平衡):

然而更多时候根节点并不是只有一个子树,下图为复杂的LL(左旋,插入13导致值为4的节点不平衡):

红色节点为插入后不平衡的节点,黄色部分为需要改变父节点的分支,左旋后,原红色节点的右孩子节点变成了根节点,红色节点变成了它的左孩子,而它原本的左孩子(黄色部分)不能丢,而此时红色节点的右孩子是空的,于是就把黄色部分放到了红色节点的右孩子的位置上。调整后该二叉树还是一棵二叉排序(搜索)树,因为黄色部分的值大于原来的根节点的值,而小于后来的根节点的值,调整后,黄色部分还是位于原来的根节点(红色节点)和后来的根节点之间。

LL(左旋)代码如下:

node *LeftRotate(node *root)

{

//左旋

node *temp=root->right;

root->right=temp->left;

temp->left=root;

returntemp;

}

代码解析:返回的是左旋后的根节点,左旋后的根节点是原来根节点的右孩子,左旋后的根节点的左孩子需要嫁接到原来根节点的右孩子上,原来的根节点嫁接到左旋后根节点的左孩子上。temp对应上图中值为8的节点,root对应上图中值为4的节点。

所谓RR(右旋)就是向右旋转一次,下图所示为最简洁的右旋(插入1导致值为3的节点不平衡):

然而更多时候根节点并不是只有一个子树,下图为复杂的RR(右旋,插入1导致值为9的节点不平衡):

红色节点为插入后不平衡的节点,黄色部分为需要改变父节点的分支,右旋后,原红色节点的左孩子节点变成了根节点,红色节点变成了它的右孩子,而它原本的右孩子(黄色部分)不能丢,而此时红色节点的左孩子是空的,于是就把黄色部分放到了红色节点的左孩子的位置上。调整后该二叉树还是一棵二叉排序(搜索)树,因为黄色部分的值小于原来的根节点的值,而大于后来的根节点的值,调整后,黄色部分还是位于后来的根节点和原来的根节点(红色节点)之间。

RR(右旋)代码如下:

node *RightRotate(node *root)

{

//右旋

node *temp=root->left;

root->left=temp->right;

temp->right=root;

returntemp;

}

代码解析:返回的是右旋后的根节点,右旋后的根节点是原来根节点的左孩子,右旋后的根节点的右孩子需要嫁接到原来根节点的左孩子上,原来的根节点嫁接到右旋后根节点的右孩子上。temp对应上图中值为5的节点,root对应上图中值为9的节点。

所谓LR(先左旋再右旋)就是先将左子树左旋,再整体右旋,下图为最简洁的LR旋转(插入2导致值为3的节点不平衡):

然而更多时候根节点并不是只有一个子树,下图为复杂的LR旋转(插入8导致值为9的节点不平衡):

先将红色节点的左子树左旋,红色节点的左子树的根原本是值为4的节点,左旋后变为值为6的节点,原来的根节点变成了左旋后根节点的左孩子,左旋后根节点原本的左孩子(蓝色节点)变成了原来的根节点的右孩子;再整体右旋,原来的根节点(红色节点)变成了右旋后的根节点的右孩子,右旋后的根节点原本的右孩子(黄色节点)变成了原来的根节点(红色节点)的左孩子。旋转完成后,仍然是一棵二叉排序(搜索)树。

LR旋转代码如下:

node *LeftRightRotate(node *root)

{

//先对root的左子树左旋再对root右旋

root->left=LeftRotate(root->left);

returnRightRotate(root);

}

代码解析:返回的是LR旋转后的根节点,先对根节点的左子树左旋,再整体右旋。root对应上图中值为9的节点。

所谓RL(先右旋再左旋)就是先将右子树右旋,再整体左旋,下图为最简洁的RL旋转(插入2导致值为1的节点不平衡):

然而更多时候根节点并不是只有一个子树,下图为复杂的RL旋转(插入8导致值为4的节点不平衡):

先将红色节点的右子树右旋,红色节点的右子树的根原本是值为9的节点,右旋后变为值为6的节点,原来的根节点变成了右旋后根节点的右孩子,右旋后根节点原本的右孩子(蓝色节点)变成了原来的根节点的左孩子;再整体左旋,原来的根节点(红色节点)变成了左旋后的根节点的左孩子,左旋后的根节点原本的左孩子(黄色节点)变成了原来的根节点(红色节点)的右孩子。旋转完成后,仍然是一棵二叉排序(搜索)树。

RL旋转代码如下:

node *RightLeftRotate(node *root)

{

//先对root的右子树右旋再对root左旋

root->right=RightRotate(root->right);

returnLeftRotate(root);

}

代码解析:返回的是RL旋转后的根节点,先对根节点的右子树右旋,再整体左旋。root对应上图中值为4的节点。

构造平衡二叉树是一个边插入边调整的过程,插入一个看看是否造成了不平衡,造成了不平衡就立即调整。代码如下:

node *Insert(node *root,int v)

{

if(root== NULL)

{

root= newnode;

root->val=v;

root->left= NULL;

root->right= NULL;

}

else

{

if(v<root->val)

{

//插到左子树上

root->left=Insert(root->left,v);

if(depth(root->left)-depth(root->right)>= 2)

{

//左边高右边低

if(v<root->left->val)

{

//右旋

root=RightRotate(root);

}

else

{

//先对其左子树左旋再右旋

root=LeftRightRotate(root);

}

}

}

else

{

//插到右子树上

root->right=Insert(root->right,v);

if(depth(root->right)-depth(root->left)>= 2)

{

if(v>root->right->val)

{

//左旋

root=LeftRotate(root);

}

else

{

//先对其右子树右旋再左旋

root=RightLeftRotate(root);

}

}

}

}

returnroot;

}

代码解析:

出现不平衡时到底是执行LL、RR、LR、RL中的哪一种旋转,取决于插入的位置。可以根据值的大小关系来判断插入的位置。插入到不平衡节点的右子树的右子树上,自然是要执行LL旋转;插入到不平衡节点的左子树的左子树上,自然是要执行RR旋转;插入到不平衡节点的左子树的右子树上,自然是要执行LR旋转;插入到不平衡节点的右子树的左子树上,自然是要执行RL旋转。

向一棵平衡二叉树tree中插入值temp的用法是这样的:

tree=Insert(tree,temp);

最后给大家推荐一道经典面试算法题——判断一棵树是不是平衡二叉树:https://leetcode-cn.com/problems/balanced-binary-tree/

给大家分享以下我的代码:

/**

* Definition fora binary tree node.

* struct TreeNode {

* intval;

* TreeNode * left;

* TreeNode * right;

* TreeNode( intx) : val(x), left( NULL), right( NULL) {}

* };

*/

classSolution {

public:

intdepth(TreeNode *root)

{

if(root== NULL)

{

return 0;

}

intdep1=depth(root-> left);

intdep2=depth(root-> right);

return (dep1>dep2?dep1:dep2)+ 1;

}

bool isBalanced(TreeNode* root) {

if(root== NULL)

{

return true;

}

intdep1=depth(root-> left);

intdep2=depth(root-> right);

if( abs(dep1-dep2)> 1)

{

return false;

}

else

{

return isBalanced(root-> left)&&isBalanced(root-> right);

}

}

};

代码解析:递归进行判断就好啦,先判断以下左子树是不是平衡二叉树,再判断一下右子树是不是平衡二叉树,两个子树有一个不是平衡二叉树则该树就不是平衡的。空树一定是平衡的。

在这金九银十的Offer收割季,衷心祝愿大家都收到想要的Offer,去想去的公司,当上CTO,迎娶白富美。

作者:宋广泽,青岛某普通一本大学计算机专业在校生,本科在读,学生开发者。喜欢用C/C++编写有意思的程序,解决实际问题。

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